Función matemática

Función, en matemáticas, una expresión, regla o ley que define una relación entre una variable (la variable independiente) y otra variable (la variable dependiente). Las funciones son omnipresentes en matemáticas y son esenciales para formular relaciones físicas en las ciencias. La definición moderna de función fue dada por primera vez en 1837 por el matemático alemán Peter Dirichlet:

análisis: funciones

El cálculo introdujo a los matemáticos a muchas funciones nuevas al proporcionar nuevas formas de definirlas, como con series infinitas y con integrales.

Si una variable y está tan relacionada con una variable x que cada vez que se asigna un valor numérico a x, hay una regla según la cual se determina un valor único de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x.

Esta relación se simboliza comúnmente como y = f (x). Además de f (x), otros símbolos abreviados como g (x) y P (x) a menudo se utilizan para representar funciones de la variable independiente x, especialmente cuando la naturaleza de la función es desconocida o no está especificada.

Funciones comunes

Muchas fórmulas matemáticas ampliamente utilizadas son expresiones de funciones conocidas. Por ejemplo, la fórmula para el área de un círculo, A = πr ², da la variable dependiente A (el área) en función de la variable independiente r (el radio). Las funciones que involucran más de dos variables también son comunes en matemáticas, como se puede ver en la fórmula para el área de un triángulo, A = bh / 2, que define A como una función de b (base) y h (altura). En estos ejemplos, las restricciones físicas obligan a las variables independientes a ser números positivos. Cuando las variables independientes también pueden tomar valores negativos, por lo tanto, cualquier número real, las funciones se conocen como funciones con valores reales.

La fórmula para el área de un círculo es un ejemplo de una función polinómica. La forma general de tales funciones es P (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ, donde los coeficientes (a ₀, a ₁, a ₂,

, se dan a _n), x puede ser cualquier número real, y todas las potencias de x son números de conteo (1, 2, 3,

). (When the powers of x can be any real number, the result is known as an algebraic function.) Polynomial functions have been studied since the earliest times because of their versatility—practically any relationship involving real numbers can be closely approximated by a polynomial function. Polynomial functions are characterized by the highest power of the independent variable. Special names are commonly used for such powers from one to five—linear, quadratic, cubic, quartic, and quintic.

Polynomial functions may be given geometric representation by means of analytic geometry. The independent variable x is plotted along the x-axis (a horizontal line), and the dependent variable y is plotted along the y-axis (a vertical line). The graph of the function then consists of the points with coordinates (x, y) where y = f(x). For example, the graph of the cubic equation f(x) = x³ − 3x + 2 is shown in the figure.

Another common type of function that has been studied since antiquity is the trigonometric functions, such as sin x and cos x, where x is the measure of an angle (see figure). Because of their periodic nature, trigonometric functions are often used to model behaviour that repeats, or “cycles.” Nonalgebraic functions, such as exponential and trigonometric functions, are also known as transcendental functions.

Complex functions

Practical applications of functions whose variables are complex numbers are not so easy to illustrate, but they are nevertheless very extensive. They occur, for example, in electrical engineering and aerodynamics. If the complex variable is represented in the form z = x + iy, where i is the imaginary unit (the square root of −1) and x and y are real variables (see figure), it is possible to split the complex function into real and imaginary parts: f(z) = P(x, y) + iQ(x, y).

Inverse functions

By interchanging the roles of the independent and dependent variables in a given function, one can obtain an inverse function. Inverse functions do what their name implies: they undo the action of a function to return a variable to its original state. Thus, if for a given function f(x) there exists a function g(y) such that g(f(x)) = x and f(g(y)) = y, then g is called the inverse function of f and given the notation f⁻¹, where by convention the variables are interchanged. For example, the function f(x) = 2x has the inverse function f⁻¹(x) = x/2.

Other functional expressions

A function may be defined by means of a power series. For example, the infinite series

could be used to define these functions for all complex values of x. Other types of series and also infinite products may be used when convenient. An important case is the Fourier series, expressing a function in terms of sines and cosines:

Such representations are of great importance in physics, particularly in the study of wave motion and other oscillatory phenomena.

Sometimes functions are most conveniently defined by means of differential equations. For example, y = sin x is the solution of the differential equation d²y/dx² + y = 0 having y = 0, dy/dx = 1 when x = 0; y = cos x is the solution of the same equation having y = 1, dy/dx = 0 when x = 0.