Topología

Topología, rama de las matemáticas, a veces denominada "geometría de láminas de goma", en la que dos objetos se consideran equivalentes si se pueden deformar continuamente entre sí a través de movimientos en el espacio como doblar, torcer, estirar y encoger mientras no permite el desgarro o pegar partes juntas. Los principales temas de interés en topología son las propiedades que permanecen sin cambios por tales deformaciones continuas. La topología, aunque es similar a la geometría, difiere de la geometría en que los objetos geométricamente equivalentes a menudo comparten cantidades medidas numéricamente, como longitudes o ángulos, mientras que los objetos topológicamente equivalentes se parecen entre sí en un sentido más cualitativo.

El área de topología que trata con objetos abstractos se conoce como topología general o de conjunto de puntos. La topología general se superpone con otra área importante de la topología llamada topología algebraica. Estas áreas de especialización forman las dos principales subdisciplinas de topología que se desarrollaron durante su historia relativamente moderna.

Conceptos básicos de topología general.

Simplemente conectado

En algunos casos, los objetos considerados en la topología son objetos ordinarios que residen en un espacio tridimensional (o inferior). Por ejemplo, un bucle simple en un plano y el borde límite de un cuadrado en un plano son topológicamente equivalentes, como se puede observar al imaginar el bucle como una banda elástica que se puede estirar para ajustarse firmemente alrededor del cuadrado. Por otro lado, la superficie de una esfera no es topológicamente equivalente a un toro, la superficie de un anillo de anillo sólido. Para ver esto, tenga en cuenta que cualquier bucle pequeño que se encuentre en una esfera fija puede reducirse continuamente, mientras se mantiene en la esfera, a cualquier diámetro arbitrariamente pequeño. Se dice que un objeto que posee esta propiedad está simplemente conectado, y la propiedad de estar simplemente conectado es de hecho una propiedad retenida bajo una deformación continua. Sin embargo, algunos bucles en un toro no se pueden reducir,como se muestra en la figura.

Many results of topology involve objects as simple as those mentioned above. The importance of topology as a branch of mathematics, however, arises from its more general consideration of objects contained in higher-dimensional spaces or even abstract objects that are sets of elements of a very general nature. To facilitate this generalization, the notion of topological equivalence must be clarified.

Topological equivalence

The motions associated with a continuous deformation from one object to another occur in the context of some surrounding space, called the ambient space of the deformation. When a continuous deformation from one object to another can be performed in a particular ambient space, the two objects are said to be isotopic with respect to that space. For example, consider an object that consists of a circle and an isolated point inside the circle. Let a second object consist of a circle and an isolated point outside the circle, but in the same plane as the circle. In a two-dimensional ambient space these two objects cannot be continuously deformed into each other because it would require cutting the circles open to allow the isolated points to pass through. However, if three-dimensional space serves as the ambient space, a continuous deformation can be performed—simply lift the isolated point out of the plane and reinsert it on the other side of the circle to accomplish the task. Thus, these two objects are isotopic with respect to three-dimensional space, but they are not isotopic with respect to two-dimensional space.

The notion of objects being isotopic with respect to a larger ambient space provides a definition of extrinsic topological equivalence, in the sense that the space in which the objects are embedded plays a role. The example above motivates some interesting and entertaining extensions. One might imagine a pebble trapped inside a spherical shell. In three-dimensional space the pebble cannot be removed without cutting a hole through the shell, but by adding an abstract fourth dimension it can be removed without any such surgery. Similarly, a closed loop of rope that is tied as a trefoil, or overhand, knot (see figure) in three-dimensional space can be untied in an abstract four-dimensional space.